线性系统理论期末考点

第七章 数学基础

• 单模矩阵与单模变换
• 互质性与互质性判据（秩判据）
• 既约性与既约性判据（行次系数矩阵或列次系数矩阵）
• 非既约矩阵的既约化
• Smith标准形

第八章 矩阵分式描述（MFD）

• 左MFD与右MFD的求法
• 真与严真的性质与判据
  • 有理分式判别法（分子次数小于等于为真，小于分母次数为严真）
  • $G(s)$阵判别法（s趋向无穷时$G(s)$等于常阵为真，等于零为严真）
  • 列既约右MFD列次系数判别法
  • 行既约左MFD行次系数判别法
• 从非真MFD导出严真MFD（多项式除法导出有理分式部分并求出新的$R(s)$作为$N(s)$）
• 不可简约MFD的性质与判据（互质性判据，判断有无同时降秩的$s$值）
• 由可简约MFD求不可简约MFD的算法（以右MFD为例）
  • 求gcrd表为$R(s)$
  • 求$R(s)$的逆，表为$R^{-1}(s)$
  • $D(s)$和$N(s)$分别右乘$R^{-1}(s)$得到新的$D(s)$和$N(s)$
  • 组合，解毕

第九章 传递函数矩阵的结构特性

• 史密斯-麦克米伦形的形式与导出
  • 求出所有元有理分式的最小公分母，表为$d(s)$
  • 分子矩阵化为Smith标准形
  • 消去公因子，解毕
• M(s)的基本特性
  • 唯一性
  • 非保真性
• 有限零点和有限极点
  • Rosenbrock零极点定义（基于M(s)的判别法，只适用于有限复平面）
  • 推论性定义
    • 基于不可简约MFD：极点令$detD(s)$等于0，零点令$N(s)$降秩
    • 基于状态空间方程：极点令$det(sI-A)=0$，零点令系统矩阵降秩
  • 零点直观解释与其阻塞定理（书P479）
• 结构指数
  • 定义（书P480），来自于零极点集合，基于S-M形求解
  • 含义（书P481）
• 无穷远处的零点和极点
  • 思路：引入$s=\lambda^{-1}$，化为以$\lambda$为变量的有理分式矩阵$H(\lambda)$，求出其S-M形，然后按照有限零极点定义求解
• 评价值
  • 有限复平面的评价值求法（书P486）
  • 由评价值构造S-M形（书P489）
  • 无穷远处评价值求法（分母次数-分子次数，书P490）
• S-M形的合成表达式（书P492）

易错考点

• 零极点推论性定义都基于不可简约MFD，如果题目给出的是可简约MFD，需要转化为不可简约MFD
• 根据$G(s)$求评价值时，直接求各阶子式，子式中包含的分式所对应的$s$即为所求的零极点集合，不需要求$M(s)$再求零极点
• $M(s)$中对角线各元素必须满足整除性，具体为分子次数随位置增加越来越大，分母次数越来越小
• 求解$M(s)$过程中导出$N(s)$时，分母需首一化
• 根据零点阻塞定理求对应的$x_0$和$u(t)$时，先由$Cx_0=0$确认非零初始状态$x_0$，然后由$(sI-A)x_0+Bu_0=0$求$u_0$
• $s$在无穷远处的评价值即为对应的有理分式的分母次数减去分子次数
• $s$在无穷远处的零点和极点即为$\lambda=1/s$矩阵在$\lambda=0$处的零点和极点

第十章 传递函数矩阵的状态空间实现

• 实现的定义与属性（唯一性、维数、最小实现）
  • $G(s)=C(sI-A)^{-1}B$
  • 实现维数：$dim(A)$
  • 最小实现：所有实现中维数最小
• 标量传递函数/传函矩阵的标准实现（要求$G(s)$严真）
  • 能控标准形实现（书P528）
    • 将$G(s)$表示为$\frac{P(s)}{d(s)}$的形式，并全部展开
    • $P(s)$按$s^n$系数拆开为$P_0(s)$、$P_1(s)$…
    • 类似于标量传递函数能控形求解方式进行组合
    • 能控形实现一般不保证能观性
  • 能观标准形实现（书P530）
• MFD的标准实现（要求MFD严真）
  • 控制器形实现
  • 观测器形实现

易错考点

• 控制器形和观测器形都要求MFD为严真，如果给出的MFD非严真，则需求其严真部分的MFD。在分离出$Q(s)$和$G_{sp}(s)$后，考虑$G_{sp}(s)=R(s)\times D^{-1}(s)$，有$R(s)=G_{sp}(s)\times D(s)$
• 若MFD为不可简约，则该MFD的实现必为最小实现
• 最小实现的形式不唯一但必定代数等价
• 若题目要求判断是否为实现，则通过$G(s)=C(sI-A)^{-1}B$判断
• 如果要求判断是否为最小实现
  • 若已知状态空间方程，判断其是否同时满足能控且能观
  • 若已知MFD，判断其是否为不可简约
• 给定MFD的控制器形实现，判断实现维数时，所求维数即为$dim(A_c)=deg det D(s)$
• 控制器形求解步骤
  1. 确认MFD为右严真MFD，如非严真，将其严真化
  2. 写出每行的列次数
  3. 写出$D_{hc}$、$D_{lc}$、$N_{lc}$
  4. 写出$A^{0}_c$、$B^{0}_c$
  5. 由$A_c=A^{0}_c-B^{0}_c\times D^{-1}_{hc}\times D_{lc}$、$B_c=B^{0}_c\times D^{-1}_{hc}$、$C_c=N_{lc}$

第十一章 PMD

• PMD的形式
  • 同传递函数矩阵$G(s)$的关系
    • $G(s)=R^{-1}(s)P(s)Q(s)+W(s)$
  • 同状态空间描述的关系
    • $P(s)=sI-A,Q(s)=B,R(s)=C$
  • 同严真MFD的关系
    • 右MFD：$P(s)=D(s),Q(s)=I,R(s)=N(s)$
    • 左MFD：$P(s)=D_L(s),Q(s)=N_L(s),R(s)=I$
• 不可简约PMD
  • 判断不可简约条件
    • $P(s),Q(s)$左互质
    • $P(s),R(s)$右互质
  • 不可简约PMD的构造（不可简约MFD构造的组合）
• PMD的观测器形实现
  1. 由PMD化左MFD
  2. 判断左MFD行既约，后判断是否严真
  3. 构造左MFD观测器形实现
  4. 转化为PMD观测器形实现（书P579）
  5. 判断是否为最小实现（PMD不可简约，MFD不可简约，完全能控和能观）
• PMD的极点和零点
  • PMD的极点（$detP(s)=0$）
  • PMD的传输零点（系统矩阵降秩）
  • 输入解耦零点（PQ行降秩）
  • 输出解耦零点（PR列降秩）
• 系统矩阵

第十二章 线性时不变控制系统的复频域分析

• 并联系统
  • 完全能控 == $D_1(s)$和$D_2(s)$左互质
  • 完全能观 == $D_{L1}(s)$和$D_{L2}(s)$右互质
  • $G_1(s)$和$G_2(s)$无公共极点可推出$S_P$完全能控和完全能观
• 串联系统
  • 完全能控 == $D_2(s)$和$N_1(s)$左互质
  • 完全能观 == $D_{L1}(s)$和$N_{L2}(s)$右互质
• 输出反馈系统的能观/能控性（书P622）
  • 完全能控 == $S_{12}$完全能控
  • 完全能观 == $S_{21}$完全能观
  • 若$S_2$为常阵，则$S_1$能控能观等价于整个系统能控能观
  • $G_F(s)=G_1(s)[I+G_2(s)G_1(s)]^{-1}=[I+G_1(s)G_2(s)]^{-1}G_2(s)$
• 直接输出反馈系统的稳定性分析
  • 系统BIBO稳定 == 系统渐进稳定
  • 系统以有理分式矩阵表征时
    • 系统渐进/BIBO稳定 == $\Delta_1(s)det[I+G_1(s)]=0$的根全部具有负实部
  • 系统以不可简约右MFD表征时
    • 系统渐进/BIBO稳定 == $\Delta_1(s)det[D_1(s)+N_1(s)]=0$的根全部具有负实部
  • 系统以不可简约左MFD表征时
    • 系统渐进/BIBO稳定 == $\Delta_1(s)det[D_{L1}(s)+N_{L1}(s)]=0$的根全部具有负实部
• 带补偿器的输出反馈系统的稳定性
  • 渐进稳定与BIBO稳定的等价条件
    • 若$S_{12}$能控，$S_{21}$能观，二者等价
    • 若不满足上一个条件，只能通过渐进稳定推出BIBO稳定
  • $G_1(s)$和$G_2(s)$均以有理分式矩阵表征
    • 渐进稳定 == $\Delta_1(s)\Delta_2(s)det[I+G_1(s)G_2(s)]=0$的根全部具有负实部
  • $G_1(s)$和$G_2(s)$以不可简约左MFD和右MFD表征
    • 渐进稳定 == $det[D_{L1}(s)D_2(s)+N_{L1}(s)N_2(s)]=0$的根均具有负实部
  • $G_1(s)$和$G_2(s)$以不可简约右MFD和左MFD表征
    • 渐进稳定 == $det[D_{L2}(s)D_1(s)+N_{L2}(s)N_1(s)]=0$的根均具有负实部
  • 特殊情形
    • 若反馈通路为常阵，则系统渐近稳定==BIBO稳定