【电机瞬态分析】同步电机突然三相短路分析

简介

在电力系统实际发生的故障中，不对称短路占的比例较大，对称短路的故障所占比例虽较小，但其后果比较严重。根据国家标准规定，同步发电机必须能承受空载电压等于105%额定电压下的突然三相对称短路。本节直接利用之前导出的同步电机动态方程式，求解空载时突然三相对称短路后的短路电流和电磁转矩。

假定在突然短路过程中转速为同步转速，即$\omega=1$。这个假定在分析最大突然短路电流和最大短路转矩时是可以满足工程要求的。由于转速恒定而且已知，因此，只需求解动态方程式中的电压方程式，无需考虑转矩过渡时的转子运动方程式。此时电压方程式是一组线性常系数的微分方程式，为了求解方便，可以应用叠加原理和拉氏变换的方法。

根据叠加原理，实际突然短路可以看成是下面两种工况的叠加：

• 电机突然短路前的稳定运行工况
• 在零初始状态下电枢端突然加上与电机短路前大小相等、方向相反的电压时的运行工况

实际突然短路问题的求解就转化成了短路前的稳态运行工况和零初始值时电枢端突加反向电压的瞬态问题的求解，这样，将使计算大为简化。下面分别就电枢突然短路后的电枢电流、转子电流及电磁转矩进行讨论。

空载突然短路后的电枢电流

假设同步电机在三项短路前空载运行，其稳定运行工况之前已经有分析过，其端电压为

$$u_d=u_{d0}=0 \\ u_q=u_{q0}=E_m$$

根据叠加原理，突然三相短路后的电枢电流$i_d$、$i_q$，将由原来的稳态电流$i_{d0}$、$i_{q0}$和突然加电压$-u_{d0}$和$-u_{q0}$引起的瞬态电流$i_d'$、$i_q'$相加而成，即

$$i_d=i_{d0}+i_d' \\ i_q=i_{q0}+i_q'$$

下面将分别求解电流$i_{d0}$、$i_{q0}$、$i_d'$、$i_q'$和$i_d$、$i_q$，并将其返回至abc坐标系统。

短路前的稳态电流$i_{d0}$、$i_{q0}$

同步电机运行在空载状态，电枢绕组开路，三相电枢绕组电流均为零，因而

$$i_{d0}=i_{q0}=0$$

突然加上$-u_{d0}$、$-u_{q0}$时所产生的电流$i_d$、$i_q$

电枢d、q绕组端分别突然加上$-u_{d0}$、$-u_{q0}$时，电压方程式为

$$-u_{d0}=0=p\psi_d'-\psi_q'+r_si_d' \\ -u_{q0}=-E_m=p\psi_q'+\psi_d'+r_si_q'$$

不计励磁调节作用，在突然短路时$u_f$为恒定值，而该恒定励磁电压的作用已经在稳态运行分析时考虑过。当电枢端突加电压$-u_{d0}$、$-u_{q0}$时，励磁绕组相当于短路回路，即$u_f=0$，因而相应的电枢磁链为

$$\psi_d'=x_d(p)i_d' \\ \psi_q'=x_q(p)i_q'$$

将电枢磁链式代入电压方程式，得到电压与阻抗、电流的关系式。当电枢端突加电压时，各绕组的电流、磁链初值为零，故经由$Laplace$变换后，其运算方程为

$$0=[r_s+px_d(p)]I_d(p)-x_q(p)I_q(p) \\ -\frac{E_m}{p}=[r_s+px_q(p)]I_q(p)+x_d(p)I_d(p)$$

解出电流$I_d(p)$如下

$$I_d(p)=-\frac{E_m}{p}\times\frac{x_q(p)}{r_s^2+r_s[x_d(p)+x_q(p)]p+x_d(p)x_q(p)p^2+x_d(p)x_q(p)}$$

或

$$I_d(p)=-\frac{E_m}{p}\times\frac{1}{p^2+r_s[\frac{1}{x_d(p)}+\frac{1}{x_q(p)}]p+1+\frac{r_s^2}{x_d(p)x_q(p)}}\times\frac{1}{x_d(p)}$$

略去$r_s^2$项，中括号内有$x_d(p)$和$x_q(p)$的项中，将转子电阻$r_f$、$r_D$、$r_Q$略去，这样$x_d(p)$、$x_q(p)$可分别简化为直轴、交轴次暂态（超瞬变）电抗$x_d''$、$x_q''$，于是有

$$I_d(p)=-\frac{E_m}{p(p^2+2\alpha p+1)x_d(p)}$$

式中

$$\alpha = \frac{r_s}{2}(\frac{1}{x_d''}+\frac{1}{x_q''})=\frac{1}{T_a}$$

根据运算电抗章节中导出的$x_d(p)$的倒数形式

$$\frac{1}{x_d(p)}=\frac{1}{x_d}+(\frac{1}{x_d'}-\frac{1}{x_d})\frac{T_d'p}{T_d'p+1}+(\frac{1}{x_d''}-\frac{1}{x_d'})\frac{T_d''p}{T_d''p+1}$$

代入原式，有

$$I_d(p)=-\frac{E_m}{p(p^2+2\alpha p +1)}[\frac{1}{x_d}+(\frac{1}{x_d'}-\frac{1}{x_d})\frac{T_d'p}{T_d'p+1}+(\frac{1}{x_d''}-\frac{1}{x_d'})\frac{T_d''p}{T_d''p+1}]$$

同理可解出象函数$I_q(p)$为

$$\begin{aligned}I_{q}(p)&=- \frac{E_{m}}{p}\times\frac{r_{s}+px_{d}(p)}{r_{s}^{2}+r_{s}[x_{d}(p)+x_{q}(p)]p+x_{d}(p)x_{q}(p)p^{2}+x_{d}(p)x_{q}(p)}\\&=- \frac{E_{m}}{p}\times\frac{r_{s}+px_{d}(p)}{p^{2}+r_{s}\Big[\frac{1}{x_{d}(p)}+\frac{1}{x_{q}(p)}\Big]p+1+\frac{r_{s}^{2}}{x_{d}(p)x_{q}(p)}}\times\frac{1}{x_{d}(p)x_{q}(p)}\end{aligned}$$

分母中采用与导出$I_d(p)$时同样的简化方法，并根据运算电抗章节中导出的$x_q(p)$的倒数形式

$$\frac{1}{x_q(p)}=\frac{1}{x_q}+(\frac{1}{x_q''}-\frac{1}{x_q})\frac{T_q''p}{1+T_q''p}$$

代入，得

$$I_q(p)=-\frac{E_m}{(p^2+2\alpha p +1)}[\frac{1}{x_q}+(\frac{1}{x_q''}-\frac{1}{x_q})\frac{T_q''p}{1+T_q''p}]$$

将象函数$I_d(p)$和$I_q(p)$使用$Laplace$反变换至原函数$i_d'$和$i_q'$。由于同步电机中$\frac{1}{T_d}$、$\frac{1}{T_d'}$、$\frac{1}{T_d''}$、$\frac{1}{T_q''}$均远小于1，反变换后的结果为

$$i_d'=-E_m[(\frac{1}{x_d''}-\frac{1}{x_d'})e^{-t/T_d''}+(\frac{1}{x_d'}-\frac{1}{x_d})e^{-t/T_d'}+\frac{1}{x_d}]+\frac{E_m}{x_d''}e^{-t\cos t/T_a}\\$$

$$i_q'=-\frac{E_m}{x_q''}e^{-t \sin t/T_a}$$

空载突然短路后的实际电流$i_d$、$i_q$

根据上面分析，实际的空载突然三相短路电流可应用叠加原理，将空载稳态运行时的电流与突加$-u_{d0}$、$-u_{q0}$时的电流相加，由于空载时电枢电流为零，所以突然短路后的电流用dq0坐标系统表示为

$$i_d=i_{d0}+i_d'=i_d' \\ i_q=i_{q0}+i_q'=i_q'$$

空载突然短路后的电流$i_a$、$i_b$、$i_c$

假定$t=0$时，d轴和q轴得夹角为$\theta_0$，则$\theta=t+\theta_0$。将$i_d'$和$i_q'$二式返回至abc坐标系统，有

$$i_a=-[(\frac{1}{x_d''}-\frac{1}{x_d'})e^{-t/T_d''}+(\frac{1}{x_d'}-\frac{1}{x_d})e^{-t/T_d'}+\frac{1}{x_d}]E_m\cos(t+\theta_0)+\frac{E_m}{2}e^{-1/T_a}[(\frac{1}{x_d''}+\frac{1}{x_q''})\cos \theta_0+(\frac{1}{x_d''}-\frac{1}{x_q''})\cos (2t+\theta_0)]$$

把上式中的$\theta_0$分别用$(\theta_0-120\degree)$、$(\theta_0+120\degree)$替换，即可得到$i_b$、$i_c$的表达式。

小结

以上是从解方程式得到的突然三相短路后的实际定子绕组电流。由$i_a$的表达式可知，突然三相短路后，定子各相短路电流由两大部分构成，即基频的周期分量、非周期及2倍频分量，从物理意义上来理解，当定子绕组突然三相短路后，由于转子磁场的旋转及定子绕组中产生相应的三相稳态基频电流，将引起定子及转子各组中的磁链的突变。为了保持各闭合回路中的磁链不发生突变,定子绕组和转子阻尼和励磁绕组中就产生了非周期电流。由于转子以同步速度旋转，转子阻尼和励磁绕组中的非周期电流会在定子绕组中产生相应的基频周期电流分量，即超瞬变（次暂态）分量和瞬变（暂态）分量。由于转子绕组中存在电阻，突然短路在转子绕组中引起的非周期电流将逐步衰减至零，其阻尼绕组和励磁绕组的衰减时间常数分别为$T_d''$和$T_d'$。由转子绕组中的非周期电流在定子绕组中感生的超瞬变分量和瞬变分量电流亦按同样的时间常数衰减。同样地，定子绕组中的非周期电流会在转子绕组中产生相应的基频周期分量电流，但由于转子不对称，这个转子绕组中的基频电流所产生的磁场相对转子而言可分为两个转向相反，转速均为同步转速$\omega_1$的分量，其中与转子转向相同的旋转磁场对定子的转速为$2\omega_1$，它将在定子绕组中引起倍频的周期分量。从$i_a$的表达式中也可看出，当转子的磁路和电路完全对称，即$x_d''=x_q'$时，这个倍频的周期分量将不存在。与转子转向相反的旋转磁场对定子的转速为零，对定子非周期电流产生的磁场是一个去磁作用。

由于定子绕组存在电阻，定子绕组中的非周期电流和倍频电流将以定子绕组的时间常数$T_a$衰减至零。

从上面分析也可以看出，由于绕组轴线选取的不同，在d、q、0坐标系统中，电流$i_d$、$i_q$的非周期分量相当于a、b、c坐标系统中电流$i_a$、$i_b$、$i_c$的基频周期分量，而电流$i_d$及$i_q$的基频周期分量，则相当于电流$i_a$、$i_b$、$i_c$的非周期分量和倍频的周期分量。

空载突然短路后的转子绕组电流

突然三相短路后，电机转子绕组中电流的计算方法与计算电枢绕组电流一致，采用叠加原理将实际的突然短路电流看成是以下两种工况的叠加：

• 电机突然短路前稳定运行工况的电流
• 在零初始状态下，电枢端突然加上与短路前大小相等、方向相反的电压时运行工况的电流

即：

1. 求原来稳态三相对称运行时的转子电流$i_{f0}$、$i_{D0}$、$i_{Q0}$
2. 求突然在电枢端加上电压$-u_{d0}$、$-u_{q0}$引起的转子电流$i_f'$、$i_D'$、$i_Q'$
3. 突然三相短路后转子的实际电流为（1）、（2）所求电流的叠加，即

$$i_f=i_{f0}+i_f'\\ i_D=i_{D0}+i_D'\\ i_Q=i_{Q0}+i_Q'\\$$

下面分三步求解转子电流：

求稳态三相对称运行时转子电流

根据第二节空载运行的分析可知，稳态运行时励磁绕组电流，等于外加励磁电压在励磁绕组中产生的稳态直流电流，即

$$i_{f0}=\frac{u_f}{r_f}$$

且稳态三相对称运行时阻尼绕组内电流为零，即

$$i_{D0}=i_{Q0}=0$$

求突然加上电压$-u_{d0}$、$-u_{q0}$引起的转子电流