【电机瞬态分析】凸级同步电机对称稳态运行分析

电机学中已经详细讨论了同步电机对称稳态运行问题，这里用之前导出的d、q、0坐标系统的电压方程式，对这一运行方式进行分析，很容易求得稳态运行时的有功功率、无功功率及电磁转矩。

空载运行

空载稳态运行时，显然同步电机的转速只能为同步转速，即角速度（标幺值）$\omega=1$；励磁绕组端外加直流电压为$u_f$，电枢绕组开路，三相电枢绕组电流$i_a$、$i_b$、$i_c$均为零，转换为d、q、0坐标系统后，$i_d$、$i_q$、$i_0$亦都为零。由于转速恒定，不存在转矩过渡过程，故该情况下无需求解转矩方程式，只需求解电压方程式，即可求得发电机空载运行时由励磁电流、磁链在发电机电枢绕组中产生的空载电压。

首先，求出励磁电流$i_f$。根据标幺值形式下的同步电机电压方程式

$$U^*=L^*pI^*+\omega^*G^*I^*+R^*I^*$$

式中

$$U^*=[U_{dq0}^* \quad U_{fDQ}^*]^T\\$$

$$I^*=[I_{dq0}^* \quad I_{fDQ}^*]^T$$

$$R^*= \begin{bmatrix} R_{abc}^* & 0\\ 0 & R_{fDQ}^* \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} L^{*}=\left[\begin{array}{cccccc} x_{\mathrm{d}}^* & 0 & 0 & x_{\mathrm{ad}}^{*} & x_{\mathrm{ad}}^{*} & 0 \\ 0 & x_{\mathrm{q}}^{*} & 0 & 0 & 0 & x_{a q}^{*} \\ 0 & 0 & x_{0}^{*} & 0 & 0 & 0 \\ x_{\mathrm{ad}}^{*} & 0 & 0 & x_{\mathrm{f}}^{*} & x_{a d}^{*} & 0 \\ x_{a d}^{*} & 0 & 0 & x_{ad}^{*} & x_{\mathrm{D}}^{*} & 0 \\ 0 & x_{\mathrm{aq}}^{*} & 0 & 0 & 0 & x_{\mathrm{Q}}^{*} \end{array}\right] \\ G^{*}=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & -x_{\mathrm{q}}^{*} & 0 & 0 & 0 & -x_{a q}^{*} \\ x_{d}^{*} & 0 & 0 & x_{\mathrm{ad}}^{*} & x_{\mathrm{ad}}^{*} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}$$

考虑$i_d$、$i_q$为零，可得

$$u_f=p(x_fi_f+x_{ad}i_D) + r_fi_f \\ 0=p(x_{ad}i_f+x_Di_D)+r_Di_D \\ 0=px_Qi_Q+r_Qi_Q$$

励磁绕组外加电源为直流电压，且现讨论的是稳态运行问题，所以励磁绕组电流为恒定直流，转子各绕组交链的磁链也为恒指，变压器电动势$p\psi$为零，这时励磁绕组的电压方程式为

$$u_f=r_fi_f$$

励磁绕组的电流为

$$i_f = \frac{u_f}{r_f}$$

阻尼绕组为短路回路，无端口电压，此时与阻尼绕组交链的磁链为恒值，无变压器电动势，显然阻尼绕组内电流为零，即

$$i_D=i_Q=0$$

其次，解出空载时电枢绕组的端电压$u_d$、$u_q$，根据同步电机电压方程式中电枢绕组部分，有

$$u_d=p\psi_d-\omega\psi_q+r_ai_d\\ u_q=p\psi_q+\omega\psi_d+r_ai_q$$

上式右边第一项$p\psi_d$、$p\psi_q$为零，由于电枢绕组电流$i_d$、$i_q$和阻尼绕组电流都为零，故$\psi_d=x_{ad}i_f=$恒值，$\psi_q=0$，故其变化率$p\psi$也为零，第三项电枢电流引起的电阻压降亦为零。考虑转子角速度$\omega=1$，可将上式改写为

$$u_d = 0 \\ u_q = \psi_d = x_{ad}i_f = x_{ad}\frac{u_f}{i_f}=E_m$$

式中，$E_m$为空载电动势幅值。$u_q =E_m$是一个重要的关系。

最后，将电枢绕组在dq0坐标系统下得到的空载电压$u_d$、$u_q$返回到abc坐标系统，稳态运行时，可任意选择时间的起始点，一般取d轴和a轴重合的瞬间作为时间起点，即$\theta_0=0$，这样就有$\theta=\omega t + \theta_0 = t$，将$u_d$、$u_q$逆变换后可得三相空载电压为

$$u_a = u_d \cos\theta - u_q\sin\theta = -E_m\sin t \\ u_b = u_d \cos (\theta - 120 \degree) - u_q \sin (\theta - 120 \degree) = -E_m\sin (t-120 \degree)\\ u_c = u_d \cos (\theta + 120 \degree) - u_q \sin (\theta + 120 \degree)=-E_m\sin (t+120 \degree)$$

综合上式可以看出，稳态运行时，在abc坐标系统中，电枢绕组的空载电压为按额定频率变换的正弦量，而在dq0坐标系统中则变为恒定的直流量。由于绕组轴线的变换，使绕组电动势的频率也发生了变换，这也可以从电机变换前后的物理模型中清楚的看到。

负载运行

同步电机带负载运行时，端电压与空载电动势之间会形成一定的相位差。假定端电压滞后于空载电动势的相角为$\delta$，即为功角。则电机端电压的瞬时值可导出为

$$\begin{bmatrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{bmatrix}= -U_m \begin{bmatrix} \sin (t - \delta) \\ \sin (t - \delta - 120 \degree) \\ \sin (t - \delta + 120 \degree) \end{bmatrix}$$

式中，$U_m$为同步电机端电压幅值。

将abc坐标系统的电枢绕组电压变换至dq0坐标系统，则$u_d$、$u_q$、$u_0$为

$$\begin{bmatrix} u_d \\ u_q \\ u_0 \end{bmatrix}=C \begin{bmatrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U_m \sin \delta \\ U_m \cos \delta \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

稳态运行时，端电压幅值$U_m$及功角$\delta$皆为恒值，所以$u_d$和$u_q$亦为恒值。同样地，对称稳态运行时，三相电流$i_a$、$i_b$、$i_c$以及电枢绕组电流$i_d$、$i_q$都为恒定直流且零序电流$i_0$为零。根据同步电机磁链方程式，可求得d、q绕组的磁链为

$$\psi_d = x_di_d + x_{ad}i_f = x_di_d + x_{ad}\frac{u_f}{r_f} = x_di_d + E_m \\ \psi_q = x_q i_q$$

根据上式，当电流$i_d$、$i_q$为恒值时，磁链亦为恒值。将上式代入电压方程式，并考虑同步转速下$\omega = 1$，有

$$u_d = -\psi_q + r_ai_d = -x_qi_q + r_si_d \\ u_q = \psi_d + r_ai_q = E_m + x_di_d + r_si_q \\$$

此处有$r_s=r_a$。三相对称绕组中每一相的电阻都是一致的，为表示方便，下面将用$r_s$代替定子电阻。

当已知电压$u_d$、$u_q$、$u_f$及阻抗参数时，可解出电枢绕组电流$i_d$、$i_q$如下

$$i_d = \frac{r_su_d-x_q(E_m-u_q)}{r_s^2+x_dx_q}=\frac{r_sU_m\sin\delta-x_q(E_m-U_m\cos\delta)}{r_s^2+x_dx_q} \\ i_q = \frac{-x_du_d-r_s(E_m-u_q)}{r_s^2+x_dx_q}=\frac{-x_du_m\sin\delta-r_s(E_m-U_m\cos\delta)}{r_s^2+x_dx_q}$$

实际中，同步电机定子电阻$r_s$的值远小于电抗$x_d$和$x_q$的值。当略去定子电阻$r_s$时，上式可化简为

$$i_d = -\frac{E_m-u_q}{x_d}=-\frac{E_m-U_m\cos\delta}{x_d} \\ i_q = - \frac{u_d}{x_q} = - \frac{U_m\sin\delta}{x_q}$$

从上面求解过程也可看出，当三相对称稳态运行时，变换到d、q、0坐标系统下的电枢绕组电压、电流均为直流。因此，将原三相稳态交流电路的问题转变成了稳态直流电路的问题，即将求解复代数方程式转变为求解实代数方程式，使计算大为简化，显示了dq0坐标系统在解三相对称稳态运行问题时的优越性。

同步电机对称稳态运行时的磁链、电流、电压求出后，就可进一步分析同步发电机的有功功率、无功功率与电磁转矩。

有功功率

同步发电机电枢端的有功功率，只需将之前求出的电压和电流代入三相功率标幺值公式$P=u_di_d+u_qi_q+2u_0i_0$中即可得到，此时考虑定子电阻$r_s$，为

$$P=u_di_d+u_qi_q \\ = U_m\sin\delta\frac{r_sU_m\sin\delta-x_q(E_m-U_m\cos\delta)}{r_s^2+x_dx_q}+U_m\cos\delta\frac{-x_dU_m\sin\delta-r_s(E_m-U_m\cos\delta)}{r_s^2+x_dx_q}\\ = \frac{-1}{r_s^2+x_dx_q}[-r_sU_m^2+E_mU_m(x_q\sin\delta+r_s\cos\delta)+\frac{U_m^2}{2}(x_d-x_q)\sin2\delta]$$

若略去$r_s$，则

$$P=-[\frac{E_mU_m}{x_d}\sin\delta+\frac{U_m^2}{2}(\frac{1}{x_q}-\frac{1}{x_d})\sin2\delta]$$

对于隐级同步电机，因其$x_d=x_q$，则有

$$P=-\frac{E_mU_m}{x_d}\sin\delta$$

从上面公式可看出，有功功率前面均有负号，这是由于按电动机惯例选取的正方向。因此，负功率意味着电枢端不是输入而是输出电功率，即运行在发电机状态。这也说明正方向的假设是可以人为选定的。按电动机惯例选取正方向，同样可以分析发电机的运行状态。本文中功率基值为三相电机的额定容量，即$P_b=3U_NI_N$，因此，用标么值表示的功率在形式上与电机学中不一致，但返回到有名值后就无差别了。

无功功率

电机的视在功率$S$与有功功率$P$和无功功率$Q$的关系为

$$Q= \sqrt {S^2-P^2}$$

式中$S$为标幺值。

三相视在功率的有名值为$3UI$，则有

$$S=\frac{3UI}{P_b}=\frac{\frac{3}{2}U_mI_m}{\frac{3}{2}U_bI_b}=U_mI_m$$

式中$U_m$和$I_m$分别为用标幺值表示的电枢绕组端电压和电流的幅值，它们与d、q轴电枢绕组的端电压和电流的关系分别为

$$U_m=\sqrt{u_d^2+u_q^2},I_m=\sqrt{i_d^2+i_q^2}$$

将视在功率$S$与有功功率$P$代入上式，可得无功功率$Q$的标幺值为

$$Q=\sqrt{(u_d^2+u_q^2)(i_d^2+i_q^2)-(u_di_d+u_qi_q)^2}=u_qi_d-u_di_q$$

代入电压和电流，有

$$Q=\frac{-1}{r_s^2+x_dx_q}[E_mU_m(x_q\cos\delta-r_s\sin\delta)-\frac{U_m^2}{2}(x_d+x_q)+\frac{U_m^2}{2}(x_d-x_q)\sin2\delta]$$

略去$r_s$时，有

$$Q=-[\frac{E_mU_m}{x_d}\cos\delta-\frac{U_m^2}{2}(\frac{1}{x_q}+\frac{1}{x_d})+\frac{U_m^2}{2}(\frac{1}{x_q}-\frac{1}{x_d})\sin2\delta]$$

若为隐级同步电机，因$x_d=x_q$，则

$$Q=-(\frac{E_mU_m}{x_d}\cos\delta-\frac{U_m^2}{x_d})$$

电磁转矩

将磁链式和电流式代入电磁转矩公式，有

$$T_{em}=i_q\psi_d-i_d\psi_q=-\frac{r_s(r_s^2+x_q^2)E_m^2}{(r_s^2+x_dx_q)^2}-\frac{E_mU_m}{(r_s^2+x_dx_q)^2} \\ \times [(r_sx_d\sin\delta-x_q^2\cos\delta)2r_s+(x_dx_q-r_s^2)(r_s\cos\delta+x_q\sin\delta)] \\ - \frac{(x_d-x_q)U_m^2}{(r_s^2+x_dx_q)^2}[(x_d\sin^2\delta-x_q\cos^2\delta)r_s+\frac{1}{2}(x_dx_q-r_s^2)\sin2\delta]$$

上式中，等号左侧电磁转矩符号为负，说明该转矩方向与假定正方向相反，为制动转矩。

上式中等号右侧的第一项称为短路转矩，为电机稳态短路$(U_m=0)$时的转矩。短路时电枢电流$i_{dk}$、$i_{qk}$为

$$i_{dk}=-\frac{x_qE_m}{r_s^2+x_dx_q},i_{qk}=-\frac{r_sE_m}{r_s^2+x_dx_q}$$

因此，电枢短路电流所引起的电枢电阻损耗为

$$i_{dk}^2r_s+i_{qk}^2r_s=I_{km}^2r_s=\frac{(r_s^2+x_q^2)E_m^2}{(r_s^2+x_dx_q)}r_s$$

因$r_s^2 << x_q^2$，且$r_s^2 << x_dx_q$，可略去$r_s$的二次项，改写上式为

$$T_k=-\frac{(r_s^2+x_q^2)E_m^2}{(r_s^2+x_dx_q)^2}r_s \approx -(\frac{E_m}{x_d})^2r_s=-I_{km}^2r_s$$

因此，短路转矩$T_k$仅与励磁绕组电流产生的空载电动势$E_m$有关，而与端电压$U_m$无关。当略去电枢绕组电阻$r_s$时，该转矩为零。

转矩公式中等号右侧的第二项为同步转矩$T_s$，它不仅与励磁电流产生的空载电动势$E_m$有关，还和电枢绕组的端电压$U_m$有关，其对应基本电磁功率部分。当略去$r_s$时，$T_s$变为

$$T_s = \frac{E_mU_m}{x_d}\sin\delta$$

转矩公式中等号右侧的第三项为磁阻转矩$T_r$，只有当直轴和交轴磁阻不等$(x_d \neq x_q)$时，该转矩才存在，且只与$U_m$有关。其对应电磁功率中的磁阻功率部分。当略去$r_s$时，$T_r$变为

$$T_r = - \frac{U_m^2}{2}(\frac{1}{x_q}-\frac{1}{x_d})\sin2\delta$$

当略去电枢电阻时，稳态对称情况下总的电磁转矩为

$$T_{em}=-\frac{E_mU_m}{x_d}\sin\delta-\frac{U_m^2}{2}(\frac{1}{x_q}-\frac{1}{x_d})\sin2\delta$$

可以看出，略去电枢电阻后，且直轴和交轴磁阻相等时，用标幺值表示的电磁转矩式（上式）与电枢端有功功率式完全一致。与电磁转矩相对应的电磁功率在不考虑电枢电阻损耗时，就是电枢端的有功功率。