【电机瞬态分析】同步电机标幺值系统

标幺值系统

电气工程领域中，因采用有名值时不同容量电机参数之间不便于比较，故通常的工程计算中多采用标幺值系统。

标幺值的定义为：标幺值=有名值/基值。其中基值与有名值的单位应当相同。

要采用标幺值系统，则必须首先解决基值的选取问题。电机分析最常用的一套基值系统选取原则为：

• 使采用标幺值后电机各方程式的形式与采用有名值时的相同
• 用标幺值表示的电枢与转子绕组间的互感系数是可逆的

显然电机中各物理量的量纲都可以表示为电压、电流和时间三个量纲的组合，因此只要确定这三个变量的基值，就可推广确定电机运行中所有变量的标幺值基值。

定子各变量基值的选取

瞬态分析时各变量均采用瞬时值形式，故电压、电流基值常采用其额定值的幅值，而不使用其有效值。

• 定子电流基值$I_b$选取定子相电流额定值的幅值
• 定子电压基值$U_b$选取定子相电压额定值的幅值
• 时间基值$\tau_b=1/\omega_N=1/2{(\pi f_N)}(s)$，即在额定频率$f_N$下经过一个电弧度所需的时间。

以上三个变量均为独立地选取其基值，为保证方程式形式在使用标幺值系统时保持不变，以下变量的基值需要根据量纲关系，基于上述三个基本变量的基值进行导出。

• 阻抗基值：$Z_b=\frac{U_b}{I_b}$ $(\Omega=V/A)$
• 角频率基值 $\omega_b=\frac{1}{\tau_b}$ $(rad/s)$
• 电感基值 $L_b=\frac{Z_b}{\omega_b}=\frac{U_b}{I_b}\tau_b$ $(H=Vs/A)$
• 磁链基值 $\psi_b=L_bI_b=U_b\tau_b$ $(Wb=Vs)$

此处电感基值的推导基于$Z_L=j\omega L$。

以下基值按惯用方法选取：功率基值取三相额定视在功率，即

• 功率基值 $P_b=3U_NI_N=\frac{3}{2}U_{Nm}I_{Nm}=\frac{3}{2}U_bI_b$ $(VA)$ （注意$U_b$和$I_b$均为幅值而非有效值，所以等式第三项要除以两次根号2）
• 转矩基值 $T_b = \frac{P_b}{\Omega_N}=\frac{P_b}{\omega_b}p$ $(Nm)$ 式中$\Omega_N$为额定机械角速度，单位$rad/s$；$p$为磁极对数。
  （注意此处有$\omega_b=p\Omega_N$，即同步电机电气角频率基值等于电机额定机械角速度乘以极对数。对于单极电机，额定机械角速度等于电气角频率；对于多极电机，电气角频率一般数倍于额定机械角速度。）

转子各量基值的选取

转子的时间基值$\tau_b$与定子一致，关键是要确定转子各绕组电压、电流基值。下面讨论常用的可逆的互感系数和$x_{ad}$基值系统的转子基值选取方法。

假定：

• $I_{fb}$、$U_{fb}$、$\psi_{fb}$为励磁绕组的电流基值、电压基值和磁链基值；

• $I_{Db}$、$U_{Db}$、$\psi_{Db}$为直轴阻尼绕组的电流基值、电压基值和磁链基值；

• $I_{Qb}$、$U_{Qb}$、$\psi_{Qb}$为交轴阻尼绕组的电流基值、电压基值和磁链基值。

令定子电流基值及电压基值与转子绕组相应量的基值的比值为

$$k_{if}=\frac{I_b}{I_{fb}},k_{iD}=\frac{I_b}{I_{Db}}.k_{iQ}=\frac{I_b}{I_{Qb}}\\ k_{uf}=\frac{U_b}{U_{fb}},k_{uD}=\frac{U_b}{U_{Db}}.k_{uQ}=\frac{U_b}{U_{Qb}}$$

由$\psi=LI$和$L_b=\frac{Z_b}{\omega_b}=\frac{U_b}{I_b}\tau_b$，可推导得$\psi_b=U_b\tau_b$。所以定子、转子磁链基值比与电压基值比相同，即：

$$k_{uf}=\frac{\psi_b}{\psi_{fb}},k_{uD}=\frac{\psi_b}{\psi_{Db}},k_{uQ}=\frac{\psi_b}{\psi_{Qb}}$$

用标幺值表示的磁链方程式可推导为：

$$\left[\begin{array}{l} \psi_{d}^* \\ \psi_{f}^* \\ \psi_{D}^* \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} L_d^* & M_{af}^* & M_{aD}^*\\ M_{fa}^* & L_f^* & M_{fD}^*\\ M_{Da}^* & M_{Df}^* & L_D^* \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} i_{d}^* \\ i_{f}^* \\ i_{D}^* \end{array}\right]$$

上式中各自感系数和互感系数的标幺值可推导如下：

$$M_{af}^*=\frac{M_{af0}}{L_b}\frac{1}{k_{if}}\\ M_{fa}^*=\frac{\frac{3}{2}M_{af0}}{L_b}k_{uf}\\ L_{d}^*=\frac{L_d}{L_b}\\ M_{aD}^*=\frac{M_{aD0}}{L_b}\frac{1}{k_{iD}}\\ M_{Da}^*=\frac{\frac{3}{2}M_{aD0}}{L_b}k_{uD}\\ L_f^*=\frac{L_f}{L_b}\frac{k_{uf}}{k_{if}}\\ L_D^*=\frac{L_D}{L_b}\frac{k_{uD}}{k_{iD}}\\ M_{fD}^*=\frac{M_{fD}}{L_b}\frac{k_{uf}}{k_{iD}}\\ M_{Df}^*=\frac{M_{Df}}{L_b}\frac{k_{uD}}{k_{if}}$$

要使以上各式中的互感系数可逆，即要求

$$M_{af}^*=M_{fa}^*,M_{aD}^*=M_{Da}^*,M_{fD}^*=M_{Df}^*$$

显然要令上式成立，则必须在标幺值系统中选取合适的转子电流基值和电压基值，即：

$$k_{uf}k_{if}=\frac{2}{3}, k_{uD}k_{iD}=\frac{2}{3}, k_{uQ}k_{iQ}=\frac{2}{3}$$

因此，要获得可逆的互感系数，定、转子各绕组的电压基值比与电流基值比的乘积需等于2/3。

显然这个条件很容满足，这说明在定子各量基值已经选定并要求互感系数可逆的条件下，转子方面的电流基值和电压基值的选取方式仍然很多，但$k_i$和$k_u$中则只能自由选定其中一个，另一个则由2/3法则确定。

工程上常用$x_{ad}$基值系统来确定转子方面的变量基值。该系统中，电枢d轴绕组自感中对应主磁场部分（$L_{ad}$）的标幺值、电枢d轴绕组与励磁绕组互感系数$M_{af}$的标幺值以及电枢d轴绕组与直轴阻尼绕组互感系数$M_{aD}$的标幺值相等，即

$$L_{ad}^*=M_{af}^*=M_{aD}^*$$

将等式代入，很容易得到：

$$L_{ad}I_b=M_{af0}I_{fb}$$

可见$x_{ad}$基值系统中励磁电流基值选取的规则是：励磁电流基值所产生的通过气隙的主磁场与电枢d绕组的互感磁链应与电枢d绕组通过基值定子电流所产生的通过气隙的自感磁链相等。

励磁电流基值$I_{fb}$也可通过实验求得。将上式两边同乘以额定角频率$\omega_N$，得

$$\omega_N M_{af0} I_{fb}=\omega_N L_{ad}I_b=x_{ad}I_{Nm}$$

该式表明基值励磁电流在定子各相绕组中将感生出有名值幅值为$x_{ad}I_{Nm}$的空载电动势。因此以下实验可确定励磁电流基值：同步电机以额定同步转速旋转，定子各绕组开路，励磁绕组通以电流，各项绕组中产生的基波空载（不计饱和）电压幅值为$x_{ad}I_b=x_{ad}I_{Nm}$,此时的励磁电流值即为励磁电流基值。

按照该种方法选定转子电流基值后，可确定转子电压基值。原来不相等的一些电感系数还可以变为相等：

$$L_{ad}^*=M_{af}^*=M_{fa}^*=M_{aD}^*=M_{Da}^*\\ L_{aq}^*=M_{aQ}^*=M_{Qa}^*\\ M_{fD}^*=M_{Df}^*=\frac{M_{fD}}{L_b} \times \frac{2}{3}(\frac{I_{fb}I_{Db}}{I_b^2})\\ L_f^*=\frac{L_f}{L_b} \times \frac{2}{3}(\frac{I_{fb}}{I_b})^2\\ L_D^*=\frac{L_D}{L_b} \times \frac{2}{3}(\frac{I_{Db}}{I_b})^2\\ L_Q^*=\frac{L_Q}{L_b} \times \frac{2}{3}(\frac{I_{Qb}}{I_b})^2$$

转子变量标幺值的折算也可以作以下理解，即先将转子方面的参数折合到定子方面，然后再采用定子方面的基值求其标幺值，非常类似于变压器中高低压两侧的标幺值折算方法。如：

$$L_f^*=\frac{L_fk_{uf}}{L_bk_{if}}$$

可以看作是励磁绕组自感$L_f$乘以$k_{uf}/k_{if}$折合到定子方面，再除以定子电感基值$L_b$。

励磁绕组与直轴阻尼绕组间的互感系数标幺值$M_{Df}^*=M_{fD}^*$，在不考虑只与它们两个绕组共同交链的不通过气隙的漏磁链时，则有$M_{Df}^*=M_{fD}^*=L_{ad}^*$。一般情况下工程计算中都会作该简化，此时对电枢电流计算带来的误差可忽略，对转子电流计算会带来一定的误差。

将$M_{Df}^*=M_{fD}^*=L_{ad}^*$代入磁链方程式中，并考虑电感标幺值与额定频率下相应电抗的标幺值在数值上相等，即$x^*=\frac{\omega_N L}{\omega_b L_b}=L^*$，因此磁链方程式可以改写为：

$$\begin{bmatrix} \psi_d^* \\ \psi_f^* \\ \psi_D^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_d^* & x_{ad}^* & x_{ad}^* \\ x_{ad}^* & x_f^* & x_{ad}^* \\ x_{ad}^* & x_{ad}^* & x_D^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d^* \\ i_f^* \\ i_D^* \end{bmatrix}$$

同理有

$$\begin{bmatrix} \psi_q^* \\ \psi_Q^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_q^* & x_{aq}^* \\ x_{aq}^* & x_Q^* \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_q^* \\ i_Q^* \end{bmatrix}$$

其中

$$\begin{aligned} x_d^* &= x_l^* + x_{ad}^* \\ x_q^* &= x_l^* + x_{aq}^* \\ x_f^* &= x_{fl}^* + x_{ad}^* \\ x_D^* &= x_{Dl}^* + x_{ad}^* \\ x_Q^* &= x_{Ql}^* + x_{aq}^* \end{aligned}$$

励磁绕组电压基值可由以下方式确定。

因为

$$k_{uf}k_{if}=\frac{U_b}{U_{fb}}\times \frac{I_b}{I_{fb}}=\frac{2}{3}$$

故

$$U_{fb}=\frac{3}{2}\times\frac{I_b}{I_{fb}}U_b$$

励磁绕组阻抗基值的取法与电枢阻抗相似，为励磁绕组电压、电流基值的比，即

$$Z_{fb}=\frac{U_{fb}}{I_{fb}}=\frac{3}{2}(\frac{I_b}{I_{fb}})^2Z_b$$

同样方法可求出直轴、交轴阻尼绕组的电压基值和阻抗基值。

交流电机基本方程式的标幺值形式

现在，就可以把原有的dq坐标系下的交流电机基本方程式改写为基于$x_{ad}$基值系统的标幺值形式。

定、转子电压方程标幺值的形式与有名值形式下的相同，即

$$\begin{bmatrix} u_d^* \\ u_q^* \\ u_0^* \\ u_f^* \\ u_D^* \\ u_Q^* \end{bmatrix} =p \begin{bmatrix} \psi_d^* \\ \psi_q^* \\ \psi_0^* \\ \psi_f^* \\ \psi_D^* \\ \psi_Q^* \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} r_a^* & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & r_a^* & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r_a^* & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r_f^* & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & r_D^* & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & r_Q^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d^* \\ i_q^* \\ i_0^* \\ i_f^* \\ i_D^* \\ i_Q^* \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\omega^* \psi_q^* \\ \omega^* \psi_d^* \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

将磁链方程式代入，整理可得

$$U^*=L^*pI^*+\omega^*G^*I^*+R^*I^*$$

式中

$$U^*=[U_{dq0}^* \quad U_{fDQ}^*]^T\\$$

$$I^*=[I_{dq0}^* \quad I_{fDQ}^*]^T$$

$$R^*= \begin{bmatrix} R_{abc}^* & 0\\ 0 & R_{fDQ}^* \end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{c} L^{*}=\left[\begin{array}{cccccc} x_{\mathrm{d}}^* & 0 & 0 & x_{\mathrm{ad}}^{*} & x_{\mathrm{ad}}^{*} & 0 \\ 0 & x_{\mathrm{q}}^{*} & 0 & 0 & 0 & x_{a q}^{*} \\ 0 & 0 & x_{0}^{*} & 0 & 0 & 0 \\ x_{\mathrm{ad}}^{*} & 0 & 0 & x_{\mathrm{f}}^{*} & x_{a d}^{*} & 0 \\ x_{a d}^{*} & 0 & 0 & x_{ad}^{*} & x_{\mathrm{D}}^{*} & 0 \\ 0 & x_{\mathrm{aq}}^{*} & 0 & 0 & 0 & x_{\mathrm{Q}}^{*} \end{array}\right] \\ G^{*}=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & -x_{\mathrm{q}}^{*} & 0 & 0 & 0 & -x_{a q}^{*} \\ x_{d}^{*} & 0 & 0 & x_{\mathrm{ad}}^{*} & x_{\mathrm{ad}}^{*} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}$$

以上$G^*$为电压方程中角速度$\omega^*$项的系数矩阵，反映了旋转电动势的项的系数大小，仅在电枢电压、$u_d^*$、$u_q^*$对应的行里有元素。

可以看出，通过线性变换后，原来定子绕组a、b、c三相的各变量已被新的d、q、0坐标系统中各变量所取代。a、b、c三相绕组是实际存在的三个回路，其绕组轴线为静止的，且在空间上互差$2\pi/3$电弧度。变换后的d、q、0坐标系统中各变量是d、q、0三个绕组回路的变量，其中d、q绕组的轴线与转子一道旋转，且d轴与转子直轴轴线(励磁绕组轴线)相重合，d、q轴在空间上相差$\pi/2$电弧度。零轴绕组在电方面是独立的，与其他绕组无电磁耦合关系。

从这以后，在一般不加说明的情况下，电机各量均采用标么值，并将表示标么值的“ * ”符号省去。